Pirámide vs prisma — qué entra más

Construí una pirámide y un prisma con la misma base. ¿Cuál tiene más volumen? La respuesta tiene una fórmula que vas a descubrir solo, con arroz.

30 min de lectura
11–14 años
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Medio 30 min

Si construís una pirámide y un prisma con la misma base y misma altura, ¿cuál tiene más volumen? La intuición dice “depende”. La realidad: el prisma tiene exactamente 3 veces más que la pirámide. Hoy lo descubrís con arroz.

Si una pirámide y un prisma tienen igual base e igual altura, la pirámide es la tercera parte del prisma.

Demócrito , Siglo V a.C.

📋 Materiales

  • Cartulina o cartón fino 4 hojas A4
  • Tijera con punta redonda 1 unidad
  • Regla 1 unidad
  • Cinta adhesiva o pegamento 1 rollo
  • Compás 1 unidad
  • Arroz, arena o lentejas 500 g
  • Bandeja 1 unidad

Construir el prisma cuadrangular

  1. Recortar la base cuadrada

    Marcá un cuadrado de 8×8 cm en la cartulina. Recortalo.

  2. Recortar 4 paredes

    Cortá 4 rectángulos de 8 cm de ancho × 12 cm de alto (la altura del prisma).

  3. Armar el prisma

    Pegá las 4 paredes a los lados de la base con cinta. Te queda una caja sin tapa de 8×8×12 cm. Volumen = base × altura = 64 × 12 = 768 cm³.

Construir la pirámide cuadrangular

  1. Recortar la misma base

    Marcá otro cuadrado de 8×8 cm. Recortalo.

  2. Recortar 4 triángulos isóceles

    Cada triángulo: base 8 cm, altura 12 cm (la altura "lateral" — no exactamente la altura de la pirámide, pero suficiente aproximación).

  3. Armar la pirámide

    Pegá los 4 triángulos a los lados de la base, juntando las puntas arriba. Te queda una pirámide sin tapa.

El experimento: medir volumen con arroz

  1. Llená la pirámide

    Apoyá la pirámide invertida (con la punta hacia abajo, sobre un vaso o soporte). Llenala hasta el borde con arroz.

  2. Verté en el prisma

    Trasladá TODO el arroz de la pirámide al prisma. Mirá hasta qué altura llega.

  3. Repetir

    Volvé a llenar la pirámide con arroz nuevo, vertelo en el prisma. Mirá nivel.

  4. ¡La sorpresa!

    Necesitás llenar la pirámide EXACTAMENTE 3 VECES para llenar el prisma completo. ¡Vol_prisma = 3 × Vol_pirámide!

La fórmula descubierta

Reto extra (8° básico)

  • ¿Cuánto vale el volumen de tu pirámide en cm³? (V = 1/3 × 64 × 12 = 256 cm³)
  • ¿Por qué los egipcios construyeron pirámides en vez de cubos? (Pista: estabilidad estructural + economía material — usás 3× menos roca para misma altura).
  • Construí un cono y un cilindro con misma base circular + altura. Repetí el experimento. ¿Funciona la misma proporción 3:1?

🖥️ Ejercicios para resolver acá

Volumen de un prisma cuadrangular de base 5×5 cm y altura 8 cm. (V = base × altura)

cm³
💡 Pista

Base = 5 × 5 = 25 cm². V = 25 × 8.

Volumen de pirámide MISMA base + altura (5×5×8). (V = (1/3) × base × altura)

cm³
💡 Pista

Pirámide = un tercio del prisma. 200 / 3 = ?

Si un cilindro tiene 100 cm³ de volumen, ¿cuánto tiene un cono con misma base y altura?

💡 Pista

La misma proporción 1:3 que pirámide:prisma.

Tip para padres y maestros

OA del currículum nacional chileno cubierto:

  • MA08 OA 11: aplicación de fórmulas para áreas de superficies y volúmenes de prismas rectos y cilindros.

Conexión histórica: Demócrito (siglo V a.C.) intuyó esta relación pero no la pudo probar formalmente. Eudoxo (siglo IV a.C.) usó el “método de exhaución” — ancestro del cálculo integral. Newton/Leibniz (siglo XVII) lo formalizaron con cálculo (∫ integral).

Para extender (chicos 13-14):

  • Cilindros vs conos: misma proporción 1:3.
  • Esferas: V = (4/3)πr³. La esfera “rellena” 2/3 del cilindro con mismo radio + altura = diámetro. Demostrado por Arquímedes hace 2300 años.
  • Conexión con integrales del cálculo: el volumen es la integral de las áreas de las “lonjas” infinitesimales (lonjas grandes en la base, lonjas chicas arriba para la pirámide).

Tiempo real: 30 min construir + 15 min experimentar = 45 min total.