Mosaicos teselados con triángulos

Descubrí qué formas pueden cubrir el plano sin huecos. Aprende rotación, reflexión y traslación recortando triángulos como Escher.

25 min de lectura
11–14 años
  • M
  • A
Fácil 25 min

¿Por qué los pisos de baño tienen formas hexagonales o cuadradas pero NO pentagonales? Y ¿cómo M.C. Escher hizo esos cuadros donde los pájaros se transforman en peces sin huecos? Hoy descubrís el truco: teselaciones.

📋 Materiales

  • Cartulinas de 2 colores 2 hojas A4
  • Tijera con punta redonda 1 unidad
  • Regla 1 unidad
  • Marcador o lápiz 1 unidad
  • Hoja blanca grande 1 unidad
  • Cinta adhesiva 1 rollo

El experimento: ¿qué triángulos teselan?

  1. Recortar 12 triángulos equiláteros

    Recortá 12 triángulos del MISMO tamaño (lados iguales) en cartulina. Hacé 6 de cada color.

  2. Cubrir hoja sin huecos

    Acomodá los triángulos en la hoja blanca. Probá: ¿podés cubrir un área grande SIN dejar huecos ni superponer? Sí — alternando colores hacés un patrón hexagonal.

  3. Probar con OTROS polígonos

    Recortá pentágonos (5 lados) iguales. Intentá cubrir sin huecos. NO se puede — los pentágonos regulares dejan espacios.

  4. Triángulo escaleno

    Probá con triángulos escalenos (lados desiguales). ¿Funcionan? SÍ — porque podés rotarlos y reflejarlos hasta que encajen.

Las 3 transformaciones

Cuando movés una figura sin deformarla, podés hacer tres cosas:

  1. Traslación: deslizar sin girar (como mover una pieza de ajedrez).
  2. Rotación: girar alrededor de un punto fijo (60°, 90°, 180°…).
  3. Reflexión: voltear como en un espejo.

Crear tu propio mosaico Escher-style

  1. Recortar un cuadrado base

    Tomá un cuadrado de 5×5 cm en cartulina.

  2. Cortar y trasladar

    Cortá una forma irregular del lado IZQUIERDO. Pegala con cinta al lado DERECHO en la misma posición. Cortá del lado SUPERIOR y pegala al INFERIOR. Te queda una forma rara.

  3. Traslación pura crea teselación

    Esa forma rara TODAVÍA tesela el plano (porque solo trasladaste pedazos, no cambiaste área). Recortá 6 copias y comprobá.

  4. Inspiración Escher

    Buscá "Escher Day and Night" en Google. Vas a ver pájaros teselados con esta misma técnica.

Reto extra (8° básico)

  • Probá con un triángulo isósceles (2 lados iguales). ¿Tesela? ¿Cuántas configuraciones distintas encontrás?
  • Combiná cuadrados + triángulos equiláteros. Cuántos de cada uno necesitás en cada vértice para que sumen 360°? (Pista: 3 triángulos + 2 cuadrados = 60+60+60+90+90 = 360)
  • Diseñá un mosaico para tu cuarto: dibujá en papel cuadriculado un patrón teselado original.

🎮 Ejercicios para jugar acá

¿Cuál de estos polígonos regulares NO tesela el plano por sí solo?

💡 Pista

Para teselar, los ángulos en cada vértice tienen que sumar exactamente 360°.

¿Cuántos hexágonos regulares se necesitan en cada vértice para sumar 360°?

💡 Pista

Cada hexágono regular tiene ángulo interno de 120°. 360 / 120 = ?

¿Tesela o no tesela el plano por sí solo? Arrastrá cada figura.

✅ Tesela

❌ No tesela solo

Tip para padres y maestros

OAs del currículum nacional chileno cubiertos:

  • MA08 OA 13: posición y movimiento de figuras 2D (traslación, rotación, reflexión).
  • MA08 OA 14: composición de transformaciones geométricas y aplicaciones a simetrías.

Conexión cultural:

  • Arte islámico (Alhambra, Granada): los musulmanes tienen prohibido representar figuras humanas, así que desarrollaron geometría hasta niveles increíbles.
  • M.C. Escher (1898-1972): visitó Alhambra en 1922 y se obsesionó con teselaciones. Sus cuadros son matemática pura.
  • Pisos de baño: hexágonos son super eficientes (mínimo material, máximo área).

Para extender (chicos 13-14):

  • Mostrá los 17 grupos de simetría del plano (todas las maneras posibles de teselar).
  • Conexión con cristalografía (átomos en redes cristalinas teselan en 3D).
  • Roger Penrose descubrió teselaciones APERIÓDICAS (no se repiten nunca pero cubren el plano). Conexión con cuasicristales (Premio Nobel Química 2011).